(C'D"= CD).

C'D' параллельна оси х.

C'"D'" параллельна оси z.

Рис. 2.5.

Рис. 2.6.

Прямая перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекции называется горизонтально - проецирующая прямая

(рис.2.7).

Рис. 2.7.

15

Прямая перпендикулярная к профильной плоскости проекции называется профильно - проецирующая прямая (рис.2.8).

Рис. 2.8.

Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LМ,то построение сводится к проведннию через точку А прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой параллельной L'M', рис.2.9 а.

16

В случае, изображенном на рис.2.9 б, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.Н, Поэтому горизонтальные проекции этихпрямых расположены на одной прямой.

Действительно, если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных прямых,

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к пря-мым общего положения, независимо от того, даны ли проекциина трех или двух плоскостях проекций, необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рис.2.11) или. на чертеже без оси проекций (рис.2,12), эти точки оказались бы налинии связи установленного для нее направления. Но если однаиз данных прямых параллельна какой- либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, тонельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между со-бой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие, на-пример, в случае, данном на рис.2.13, прямые АВ и CD, из ко-торых прямая CD параллельна плоскости W, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрез-ков в данном отношении.


Рис.2.10


Рис.2.11


а) б)

Рис.2.9

На рис.2.14, 2.15 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, то есть прямые не пересекаются между собой.

Рис.2.13. Рис.2.14 Рис. 2.15

Чтобы определить на эпюре истинную (натуральную) длину отрезка прямой, можно воспользоваться способом прямоугольного треугольника (рис.2.16, 2.1.7),

Прямая АВ - общего положения (то есть, не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций). Поэтому обе ее проекции А'В' и А"В" имеют искажения по сравнению с натуральными размерами.

На рис.2.16 слева, длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с плоскостью Н, определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В' при втором катете В'В°,равном В" 1.АВ=А'В°.

18

Для установления натуральной величины отрезка АВ проводим на одной из проекций (горизонтальной) прямую параллельную оси х.

Отрезки линий уровня - фронтали, горизонтали, профильные проецируются в натуральную величину, соответственно на фронтальную, горизонтальную и профильные плоскости проекции. Во всех остальных случаях отрезки прямых проецируются с искажением.

Рис.2.16 Рис.2.17

Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для Н.В.

Если прямая имеет какую - либо проекцию, равную действительной ее длине, то на комплексном чертеже угол между проекцией этой прямой и плоскостью проекций будет действительным углом прямоугольного треугольника.

19

2.5. Точка на прямой. Проецирование прямого угла. Следы прямой.

На рис 2.18 дана прямая с (общего положения), проходящая через точку А. Точка В принадлежит этой прямой с и горизотальная проекция этой точки В' принадлежит горизонтальной проекции прямой с (с'). Исходя из инвариантного свойства параллельных проекций (если точка принадлежит линии, то проекции точки принадлежат одноимённым проекциям этой линии) находим В" следующим образом: проводим из точки В линию связи до пересечения с с".

Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении и, следовательно, проекции этого отрезка делятся проекцией этой точки в том же отношении.

На рис. 2.19 дан пример деления отрезка в некотором заданном от ношении. Отрезок КМ разделён в отношении 2:4. Для этого из точки К' проведена произвольная вспомогательная прямая, на которой отложено шесть (2 + 4) отрезков произвольной длинны, но равных между собой. Проведя отрезок 6М' и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем N', затем находим N". Точка N поделила отрезок КМ в отношении 2:4.

При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется на плоскость проекции без искажения (прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна.
20

На рис.2.20 отрезок АВ параллелен плоскости Н. Угол АВС прямой (90°). Угол A'B'C' - прямой.

Рис.2.20
Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии и плоскостей проекций называют следами прямой. Соответствено, точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекции Н называют горизонтальным следом (1н); точку пересечения прямой I с фронтальной плоскостью проекций V называют фронтальным следом (lv); точку пересечения прямой I с профильной плоскостью проекций W называют профильным следом (lw).

На рис,2.21а,б 1н', lv', lw' - горизонтальные проекции следов 1н,1v, 1w.

1н", 1v"; 1w" - фронтальные проекции следов 1н; 1v; 1w. 1н" , 1v'",1w'" - профильные проекции следов 1н; 1v; 1w.

Из рис.2.21 видно, что 1н =1h'; 1v = 1v" , 1w =1w"'.

Для построения на комплексном чертеже горизонтального следа прямой I (рис.2.21 б) необходимо продолжить фронтальную проекцию 1" до пересечения с осью х, затем из этой точки восстановить перпендикуляр к оси х до пересечения его с горизонтальной проекцией прямой 1(1').

Полученная точка является горизонтальной проекцией горизонтального следа 1н' и здесь же находится сам горизонтальный след 1н. Так как 1н находится на горизонтальной плоскости проекций Н (т.к. 1  Н), то его фронтальная проекция 1н" находится на оси х, профильная проекция 1н'" находится на оси у плоскости W.

21

Для построения фронтального следа прямой I необходимо продолжить горизонтальную проекцию 1 до пересечения с осью х, из этой точки восстановить перпендикуляр к оси до пересечения его фронтальной проекцией прямой 1 (1"). Полученная точка является фронтальной проекцией фронтального следа 1v" и здесь же находится сам фронтальный след lv. Так как 1v принадлежит фронтальной плоскости проекций V( 1  V), следовательно его горизонтальная проекция lv' находится на оси х; профильная проекция lv'" находится на оси Z.

а) б)

22
3. ПЛОСКОСТЬ

Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой плоской фигурой.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, (А,В,С) (рис.3.1), б) проекциями прямой и точки взятыми внеэтой прямой, (а,А) (рис.3.2), в) проекциями двух пересекающихся прямых, (a  b) (рис.3.3), г) проекциями двух параллель-ных прямых, (а || b), (рис,3.4), д) проекциями плоской фигуры (треугольника, окружности, квадрата,.,) (рис.3.5).

Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3 Рис.3.4 Рис.3.5

Каждое из представленных заданий плоскости рис. (3.1-3,5) может быть преобразовано в любое из них.
23

3.2 Следы плоскости

Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекции.

На рис. 3.6 некоторая плоскость  задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ. для построения прямой, по которой плоскость р пересечет плоскость Н, достаточно построить две точки, принадлежащих одновременно плоскостям а и Н. Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на плоскости Н, т.е. точки пересечения этих прямых с плоскостью Н.

Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8

Построив проекции этих следов и проведя через точки Mi' и М₂ 'прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей  и Н, Линия пересечения плоскостей  и V определяется фронтальными следами прямых АВ и СВ.

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называется следами этой плоскости на плоскостях проекций.

Прямая, по которой плоскость  (рис. 3.7, 3,8) пересекает горизонтальную плоскость проекций Н - горизонтальный след плоскости  и обозначается н.

Прямая, по которой плоскость  пересекает фронтальнуюплоскость проекции V, - фронтальный след плоскости , который обозначается _V. Точка пересечения н и _V на оси Х называется точкой схода следов и обозначается Х_

24

След плоскости на плоскости проекции сливается со своей проекцией на этой плоскости, следовательно, н ⁼ н' , где н' горизонтальная проекция горизонтального следа плоскости ; фронтальная проекция этого следа располагается на оси X.

На чертеже плоскость может быть, задана проекциями ее следов (рис. 3,9). Такой чертеж нагляден и представляет удобство при некоторых построениях.

Если рассматривать плоскость  в системе H,V,W, то в общем случае плоскость  пересекает оси X, Y, Z. Такая плоскость называется плоскостью общего положения w - профильный след плоскости 

Рис.3.9 Хо, Yo, Zo- точки схода следов

плоскости 

3.3 Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости. Прямые особого положения.

Из положения геометрии следует:

1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит черездве точки, принадлежащие данной плоскости.

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей. Зададим плоскость  двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ (рис.3.10), плоскость  двумя параллельными прямыми DE и FG. Согласно первому положению прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости. Из этого следует, что если тоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис, 3.11).

25

Рис.3.10

Рис.3.11 Рис.3.12

Плоскости  и  заданы следами (рис.3.11, 3.12).

Прямая, проходящая через точки М и N, пересекает следы плоскостей  и . Точка М является горизонтальным следом прямой MN, точка N - фронтальный след прямой MN и, следовательно, прямая MN принадлежит плоскости  (рис.3.11) и плоскости  (рис. 3.12).

26

Из рис. 3.13 следует, что прямая принадлежит плоскости,

если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку, которая является одноименным следом этой прямой.

Для построения на чертеже точки, лежащей в заданной плоскости, сначала строят прямую, принадлежащую заданной плоскости, затем на этой прямой берут точку.

Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D и известно, что точка D принадлежит плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 3,14). Сначала строят горизонтальную проекцию прямой, принадлежащей данной плоскости и проходящей через D'. Затем строят фронтальную проекцию той же прямой (А"М") и на ее продлении находят D".

Среди прямых, принадлежащих плоскости, особое положение занимают горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталями плоскости называют прямые, лежагцие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС. Горизонталь построим через вершину А (рис.3.15).

27

Рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами (рис. 3.16).

Горизонтальный след плоскости является одной из ее горизонталей (нулевая горизонталь). Поэтому построение какой -либо из ее горизонталей сводится к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости.

Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси X.

Фронталями плоскости называют прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций V. Пример построения фронтали в плоскости дан на рис.3.17. Построение выполнено

аналогично

Рис3.17 Рис.3.18

построению горизонтали (см. рис. 3,15), Пусть фронталь проходит через точку А. Так как фронталь параллельна плоскости V, то А'К' параллельна оси X, затем строим фронтальную проекцию К" и фронтальную проекцию фронтали А"К",

Построим фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.3.18 устанавливаем, что прямая MB является фронталью плоскости , она параллельна фронтальному следу (нулевой фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости v.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций Н, V, W называются прямые, лежащие в ней, и перпендикулярные или к горизонтали плоскости, или к ее фронтали,

28

или к ее профильной прямой. Линия наибольшего наклона к плоскости Н называется линией ската плоскости,

Эти линии определяют угол наклона плоскости к плоскостями,H,V,W.

Согласно правилам проецирования прямого угла горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после построения горизонтальной.

Рис. 3.19 Рис. 3.20

На рис. 3.19 изображена линия ската плоскости : ВК  h, BKB' - линейный угол двугранного угла, образованного этой плоскостью и плоскостью Н. Следовательно линия ската служит для определения угла наклона этой плоскости к плоскости Н.

На рис,3,20 построены линии ската в заданных плоскостях.

Линейный угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости Н.

Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости V и ее фронтальной проекцией равен углу наклона заданой плоскости к плоскости V.

Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости W и ее профильной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости W.

29

3.4 Положение плоскостей относительно плоскостей проекций

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

2) плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций;

3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

1.Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, является плоскостью общего положения (см, рис. 3,1-3.5), Плоскость общего положения (см рис. 3.9) ,пересекает все плоскости проекций. Следы плоскости общего положения не перпендикулярны к осям проекций

2. Если плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей

проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции. Такие плоскости называются горизонтально проецирующими (рис.3,21, 3.22).


Рис.3.21 Рис.3.22

На рис.3.21 плоскость задана проекциями треугольника АВС. Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф₂ равен углу между заданной плоскостью и плоскостью V. На рис. 3,22 изображена горизонтально проецирующая плоскость , которая задана следами. Фронтальный след плоскости  перпендикулярен к плоскости Н и к оси проекций X. Угол ф₂ является

30

линейным углом двугранного угла между горизонтально проецирующей плоскостью  и плоскостью V.

б) плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекции. Такие плоскости называются фронтальнопроецирующими.

Рис.3.23 Рис.3.24

На рис, 3.23 фронтально - проецирующая плоскость задана треугольником DEF, фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф₁ равен углу между плоскостью DEF и плоскостью Н.

На рис.3,24 фронтально - проецирующая плоскость  задана следами. Горизонтальный след _н перпендикулярен к плоскости V и к оси X. Угол ф₁ равен углу наклона плоскости  к плоскости Н;

в) плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильно- проецирующи-ми,

На рис,3,25 профильно - проецирующая плоскость задана треугольником АВС. Горизонталь этой плоскости перпендикулярна к плоскости W и представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф₁ равен углу наклона плоскости треугольника АВС к плоскости Н.

31

Рис.3.25 Рис.3.26

На рис.3.26 профильно - проецирующая плоскость  задана следами. Угол ф₁ равен углу наклона плоскости  к плоскости Н,

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси Хи, следовательно, параллельны между собой.

3. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к плоскостям V, W т.е. параллельна плоскости Н. Такие плоскости называют горизонталь-

ными .

Рис.3.27 Рис.3.28

На рис.3.27 горизонтальная плоскость задана треугольником АВС. Фронтальная проекция этой плоскости апробировалась в прямую линию, параллельную оси Х.

На рис.3.28 горизонтальная плоскость задана следами. Фронтальный след этой плоскости параллелен оси X.

б) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и W, т.е. параллельна плоскости V. Такие плоскости называют фронтальными

32

Рис.3.29 Рис.3.30

На рис.3.29 фронтальная плоскость задана треугольником CDE, Горизонтальная проекция этой плоскости представляет прямую линию, параллельную оси X.

На рис. 3.30 фронтальная плоскость  задана следами. Горизонтальный след этой плоскости параллелен оси X,

в) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и V, т.е. параллельна W. Такие плоскости называют профильными.





Рис.3.31 Рис.3.32

На рис.3.31 профильная плоскость задана треугольником EFG, Фронтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, параллельную оси Z

На рис.3.32 профильная плоскость  задана следами. Фронтальный и горизонтальный следы этой плоскости перпендикулярны к оси X.
33

<предыдущая страница | следующая страница>